基础数学示例

$(k^{3} + 18 k^{2} + 84 k + 40) \div (k + 10)$

解题步骤 1

使用有理根检验法因式分解 $k^{3} + 18 k^{2} + 84 k + 40$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

$q = \pm 1$

解题步骤 1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

解题步骤 1.3

代入 $- 10$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 10$ 是多项式的根。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

将 $- 10$ 代入多项式。

${(- 10)}^{3} + 18 {(- 10)}^{2} + 84 \cdot - 10 + 40$

解题步骤 1.3.2

对 $- 10$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 1000 + 18 {(- 10)}^{2} + 84 \cdot - 10 + 40$

解题步骤 1.3.3

对 $- 10$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 1000 + 18 \cdot 100 + 84 \cdot - 10 + 40$

解题步骤 1.3.4

将 $18$ 乘以 $100$ 。

$- 1000 + 1800 + 84 \cdot - 10 + 40$

解题步骤 1.3.5

将 $- 1000$ 和 $1800$ 相加。

$800 + 84 \cdot - 10 + 40$

解题步骤 1.3.6

将 $84$ 乘以 $- 10$ 。

$800 - 840 + 40$

解题步骤 1.3.7

从 $800$ 中减去 $840$ 。

$- 40 + 40$

解题步骤 1.3.8

将 $- 40$ 和 $40$ 相加。

$0$

解题步骤 1.4

因为 $- 10$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $k + 10$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{k^{3} + 18 k^{2} + 84 k + 40}{k + 10}$

解题步骤 1.5

用 $k^{3} + 18 k^{2} + 84 k + 40$ 除以 $k + 10$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$k$

$10$

$k^{3}$

$18 k^{2}$

$84 k$

$40$

解题步骤 1.5.2

将被除数中的最高阶项 $k^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $k$ 。

					$k^{2}$
	$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$

解题步骤 1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$k^{2}$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			+	$k^{3}$	+	$10 k^{2}$

解题步骤 1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $k^{3} + 10 k^{2}$ 中的所有符号

				$k^{2}$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$

解题步骤 1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$k^{2}$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$

解题步骤 1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$k^{2}$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$

解题步骤 1.5.7

将被除数中的最高阶项 $8 k^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $k$ 。

				$k^{2}$	+	$8 k$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$

解题步骤 1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$k^{2}$	+	$8 k$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					+	$8 k^{2}$	+	$80 k$

解题步骤 1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $8 k^{2} + 80 k$ 中的所有符号

				$k^{2}$	+	$8 k$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					-	$8 k^{2}$	-	$80 k$

解题步骤 1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$k^{2}$	+	$8 k$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					-	$8 k^{2}$	-	$80 k$
							+	$4 k$

解题步骤 1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$k^{2}$	+	$8 k$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					-	$8 k^{2}$	-	$80 k$
							+	$4 k$	+	$40$

解题步骤 1.5.12

将被除数中的最高阶项 $4 k$ 除以除数中的最高阶项 $k$ 。

				$k^{2}$	+	$8 k$	+	$4$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					-	$8 k^{2}$	-	$80 k$
							+	$4 k$	+	$40$

解题步骤 1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$k^{2}$	+	$8 k$	+	$4$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					-	$8 k^{2}$	-	$80 k$
							+	$4 k$	+	$40$
							+	$4 k$	+	$40$

解题步骤 1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 k + 40$ 中的所有符号

				$k^{2}$	+	$8 k$	+	$4$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					-	$8 k^{2}$	-	$80 k$
							+	$4 k$	+	$40$
							-	$4 k$	-	$40$

解题步骤 1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$k^{2}$	+	$8 k$	+	$4$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					-	$8 k^{2}$	-	$80 k$
							+	$4 k$	+	$40$
							-	$4 k$	-	$40$
										$0$

解题步骤 1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$k^{2} + 8 k + 4$

解题步骤 1.6

将 $k^{3} + 18 k^{2} + 84 k + 40$ 书写为因数的集合。

$(k + 10) (k^{2} + 8 k + 4) \div (k + 10)$

解题步骤 2

通过约去公因数来化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

通过约去公因数来化简表达式 $(k + 10) (k^{2} + 8 k + 4) \div (k + 10)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

约去公因数。

$(k + 10) (k^{2} + 8 k + 4) \div (k + 10)$

解题步骤 2.1.2

重写表达式。

$\frac{k^{2} + 8 k + 4}{1}$

解题步骤 2.2

用 $k^{2} + 8 k + 4$ 除以 $1$ 。

$k^{2} + 8 k + 4$

基础数学 示例

基础数学示例